摘要： 在常数边界分红策略及存在税收的情形下，对于扩散风险模型，保险公司将盈余投资于无风险资产与一种风险资产，且通过比例再保险来分散风险，通过求解HJB方程，得到了最大期望折现红利，最优投资与再保险策略的显示表达式。
Abstract： In the situation of the presence of tax and the constant dividend barrier， for the diffusion risk model， insurance company invest surplus in risk-free asset and a risky asset， and spread the risk through the proportional reinsurance. We obtain the closed-form expressions of the maximal expected discounted dividend， the optimal investment and reinsurance strategy by solving the HJB equation.
关键词： 边界分红；税收；Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程
Key words： barrier dividend；tax；Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）equation
中图分类号：F83 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）01-0191-02
0 引言
自De Finettib[1]提出带有分红的二项风险模型后，关于分红的保险风险模型，有大量文献对其进行了研究，如文献[2-5]等。最近，林祥与杨鹏[6]在扩散风险模型下研究了再保险及投资对红利的影响，在最大化期望贴现红利的目标下，得到了最优策略及值函数的显示表达式。但在其投资中，只有风险资产，没有无风险资产。而在保险实务中，保险公司有一部分盈余会投资于无风险资产。本文在文献[6]的基础上，针对扩散风险模型，保险公司将盈余投资于无风险资产与一种风险资产，且购买比例再保险，另外，考虑到税收的影响，我们将在存在税收的情形下，研究常数边界分红策略，为使期望贴现红利最大化，其最优的投资与再保险策略。
1 模型
下文用（·）T表示向量的转置，用表E（·）示随机变量的数学期望。假设（W（1）t，W（2）t）T是定义在完备概率空间（？赘，F，P，{Ft}t？叟0）上独立的二维标准Brownian运动，其中{Ft}t？叟0是由（W（1）t，W（2）t）T所产生的信息流。允许连续交易，不考虑交易费用，所有资产都是无穷可分的。设保险公司的盈余为X（t）=x+ct+？茁W（1）（t）， t？叟0（1）
其中，x？叟0是保险公司的初始盈余，c>0是单位时间的保费率，？茁W（1）（t）表示随机因素的干扰。保险公司购买比例再保险，其自留额为p？叟0，若p>1则表示保险公司承接了其他公司的再保险业务，此时，保险公司的盈余为：
X（t，p）=x+p（t）ct+p（t）？茁W（1）（t）， t？叟0（2）
假设保险公司投资的金融市场有一种无风险资产与一种风险资产，无风险资产在t时刻的价格B（t）满足如下常微分方程dB（t）=r0B（t）dt
其中r0>0为无风险利率，风险资产在t时刻的价格S（t）满足如下随机微分方程：
dS（t）=S（t）（？滋dt+？滓dW（2）（t））， t？叟0
？滋>0表示风险资产的期望收益率，？滓>0表示波动率。用l（t）表示t时刻保险公司投资于风险资产的盈余额，则投资于无风险资产的盈余额为X（t，p）-l（t）。另外，考虑到保险实务中税收的存在，设税收率为？琢>0。在任意时刻，保险公司选择比例再保险策略p（t）与投资策略l（t），记？仔（·）=（p（·），l（·）），当？仔（·）确定时，则保险公司的盈余为
X（t，？仔）=l（t）· +[X（t，？仔）-l（t）]·r0dt-？琢X（t，？仔）dt+dX（t，p）=[l（t）（？滋-r0）+X（t，？仔）（r0-？琢）+p（t）c]dt+p（t）？茁dW（1）（t）+？滓l（t）dW（2）（t）（3）
且X（0，？仔）=x。
若p（t）与l（t）是关于Ft可料的，且满足
1） p（t）？叟0； 2） p l2（t）dt<∞=1
则称？仔（t）是可行策略，所有可行策略集合记为？装。以下考虑边界分红策略，设保险公司的常数红利界为b>0，即当盈余低于b时无红利支付，一旦盈余高于b时，高出的部分全部作为红利支付。对t？叟0，记D（t）为到时刻t为止支付的总红利，则支付红利后，t时刻保险公司的盈余为
Xb（t，？仔）=X（t，？仔）-D（t）（4）
定义破产时刻为
Tb= {t：Xb（t，？仔）？燮0}
在初始盈余为x，控制策略为？仔时，记D 表示到破产时刻Tb为止所有红利现值，即
D = e-？啄tdD（t），
其中，？啄>0表示红利贴现率。对x？叟0，用V？仔（x，b）表示D 的数学期望，即V？仔（x，b）=ED Xb（0，？仔）=x，
以下将寻找最优投资与再保险策略，使V？仔（x，b）最大，即找到最优的值函数V（x，b）= V？仔（x，b）及最优策略？仔*，使得V？仔*（x，b）=V（x，b）
2 主要结果
由Fleming和Soner[7]或Schmidli[8]，易得以下定理
定理1：设V（x，b）是定义在{x，x？叟0}上的二次连续可微函数，则V（x，b）满足以下HJB方程
？茁2p2+？滓2l2）V （x，b）+[l（？滋-r0）+x（r0-？琢）+pc]V （x，b）-？啄V（x，b）=0
0？燮x？燮b，（5）
V（x，b）=x-b+V（b，b），x>b（6）
及边界条件
V（0，b）=0 （7）
x=b=1（8）
V （x，b），V （x，b）分别表示V（x，b）关于x的一阶与二阶导数。
采用文献[7]或[8]的标准方法，可得如下的检验定理
定理2：设W（x，b）是定义在{x，x？叟0}上的二次连续可微的凹函数，满足HJB方程（5）和（6）以及边界条件（7）和（8），则值函数V（x，b）与W（x，b）是一致的，即V（x，b）=W（x，b），且若？仔*满足
（？茁2p2+？滓2l2）W （x，b）+[l（？滋-r0）+x（r0-？琢）+pc]W （x，b）-？啄W（x，b）=0，0？燮x？燮b，W（x，b）=x-b+W（b，b），x>b，
则？仔*是最优策略，即W（x，b）=V（x，b）=V？仔*（x，b）。
由HJB方程（5）关于l求导得：
？滓2lV （x，b）+（？滋-r0）V （x，b）=0，
则l*=- （9）
将（9）式代入（5）式，得到
？茁2p2V （x，b）+pcV （x，b）-
+x（r0-？琢）V （x，b）-？啄V（x，b）=0（10）
由（10）式的一阶条件知：
？茁2pV （x，b）=-cV （x，b）
于是，p=- （11）
当p？叟0时，将（11）式代入（10）式，有
+ -x（r0-？琢）V （x，b）+？啄V（x，b）=0
以下记？驻=2（r0-？琢）+2？啄+ -16？啄（r0-？琢），
假设？驻？叟0，结合边界条件（7）与（8），得到
V（x，b）= b1-kxk，
其中，k=
（12）
当p<0时，将p*=0代入（10）式，有
- +x（r0-？琢）V （x，b）-？啄V（x，b）=0
由边界条件知：
V（x，b）= b1-mxm
其中，
m=
（13）
综上，我们可得如下结论：
定理3：对于盈余过程（4），其最优策略p*，l*及最优期望折现红利V（x，b）分别为：
当p？叟0时，
p*= ，
l*= ，
V（x，b）= b1-kxk， 0？燮x？燮bx-b+V（b，b）， x>b
其中，k由（12）式给出；
当p<0时，
p*=0，l*= ，
V（x，b）= b1-mxm， 0？燮x？燮bx-b+V（b，b）， x>b
其中，m由（13）式给出。
由定理3知，无风险利率r0及税收率？琢对最优策略p*，l*及最优期望折现红利V（x，b）均有影响。
参考文献：
[1]De Finettib. Su unimpostazione alternative dell teoria colletiva del rischio[J]. Transactions of the XV International Congress of Actuaries，1957，2：433-443.
[2]Asmussen S， Taksar M. Controlled diffusion models for optimal dividend pay-out[J]. Insurance： Mathematics and Economics，1997，20：1-15.
[3]Lin X S， Willmot G E， Drekic S.The classical risk model with a constant dividend barrier[J]. Insurance： Mathematics and Economics，2003，33：551-566.
[4]Dickson D C M， Waters H R. Some optimal dividend problems[J]. ASTIN Bulletion，2004，34：49-74.
[5]Li S L. The distribution of the dividend payments in the compound Poisson risk model perturbed by diffusion[J].Scandinavian Actuarial Journal，2006，2：73-85.
[6]林祥，杨鹏.扩散风险模型下再保险和投资对红利的影响[J].经济数学，2010，27（1）：1-8.
[7]Fleming W H， Soner H M. Controlled markov processes and viscosity solutions[M]. New York： Springer Verlag，2005.
[8]Schmidli H.Stochastic control in insurance[M]. London： Springer Verlag，2008.