摘 要： 要求一个不定方程的全部的解相当困难。利用容斥原理和排列组合的有关知识可求得一类不定方程的正整数解的组数，本文例举了一些解该类型题的常用的技巧与方法。
关键词： 不定方程 隔板法 容斥原理
一
不定方程，是指未知数的个数多于独立方程的个数的方程或方程组。一般不定方程存在无穷多组解。求不定方程的正整数解的问题，属于数学中的一个古老而重要的分支——数论的内容。而数论的初级阶段所涉及的一些数学方面的知识，看起来似乎很简单，任何人都能了解，但在解题中合理、灵活地应用，却是多数人办不到的。一般来说，求解不定方程的整数解这一类型的题目，有时并不需要很多的基础知识，但却必须具有较强的逻辑思维和逻辑推理能力。
例1：求方程x+x+x+x=18的正整数解的组数。
解析：求方程x+x+x+x=18的正整数解的组数，可以处理成以下这种模型：把18个小球一字排开，中间有17个空位，若从中任取3个空位插上隔板，则可把这18个小球分成4份，每份至少1个小球，如果x，x，x，x分别对应取其中一份，隔板放法的种数恰好就是方程x+x+x+x=18的正整数解的组数，即有C=680个正整数解。（这种解决问题的方法叫做隔板法）
由这个例子我们可以得到一个定理。定理：方程x+x+x+…+x=n（m≤n，m，n∈N）的正整数解的组数为C。
证明：由题意，方程的正整数解的组数等于把n个元素分成m组，每组至少一个共有的分法数。
n个元素中间有（n-1）个空，在其中选取（m-1）个放入隔板即可，共有C种做法，即方程解的组数共有C。
注意：定理对x（i=1，2，…，m）的基本要求为x≥1，x∈N（i=1，2，…，m）。
二
对于不满足定理条件的不定方程，有的可以通过转化，然后用定理来解决。
例2：求不定方程x+x+x+x=18的非负整数解的组数。
解析：求不定方程x+x+x+x=18的非负整数解的组数，即对x（i=1，2…4）的要求为x≥0，x∈N（i=1，2，…，4），它不满足定理的要求，不能直接用定理来解决，但是x+x+x+x=18（x≥0，x∈N，i=1，2，…，4）等价于（x+1）+（x+1）+（x+1）+（x+1）=22（x≥0，x∈N，i=1，2，…，4），令x+1=x′，则原不定方程等价于x′+x′+x′+x′=22（x′≥1，x∈N，i=1，2，…，4），此时不定方程满足定理的要求，而以上三个不定方程解的组数是相同的。所以原不定方程的解的组数C=1330。
三
以上类型的转化，就是通过变量代换，把不满足定理条件的不定方程，转换为满足定理条件的不定方程。应用容斥原理和定理还能够解决另一类型的不定方程的解的组数问题。在这里先介绍一下容斥原理。
如上图所示，集合A∪B的元素个数|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，
对于三个集合A，B，C的情况，我们有|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-（|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|）+|A∩B∩C|。
将上述公式推广到有限集合的情形，得到下面的容斥原理一：
|A∪A∪…∪A|=|A|-|A∩A|+|A∩A∩A|-…+（-1）|A∩A…∩A|。
证明：n=2时，有|A∪A|=|A|+|A|-|A∩A|。
假设n-1时有|A∪A∪…∪A|=|A|-|A∩A|+|A∩A∩A|-…+（-1）|A∩A…∩A||A∪A∪…∪A|=|（A∪A∪…∪A）∪A|=|A∪A∪…∪A|+|A|-|（A∪A∪…∪A）∩A|。
而（A∪A∪…∪A）∩A=（A∩A）∪（A∩A）∪…∪（A∩A），
∴|（A∪A∪…∪A）∩A|=（A∩A）∪（A∩A）∪…∪（A∩A）=|A∩A|+|A∩A|+…+|A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|-…-|A∩A∩A|+…+（-1）|A∩A∩…A|= |A|-|A∩A|+|A∩A∩A|-…+（-1）|A∩A…∩A|，
定理得证。
另外我们容易证明若A，A，…，A是集合I的子集，CA表示A在I中的补集，则有：
C（A∪A∪…∪A）=CA∩CA∩…∩CA，
C（A∩A∩…∩A）=CA∪CA∪…∪CA。
由以上两式我们得到容斥原理二：
|CA∩CA∩…∩CA|=|I|-|A∪A∪…∪A|=|I|-|A|+|A∩A|-|A∩A∩A|+…+（-1）|A∩A…∩A|。
例3：求不定方程x+x+x+x=18（x≤5，x≤4，x≤3，x≤6，x∈N，i=1，2，…，4）的解的组数。
分析：记x+x+x+x=18（x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合为I，则|I|=C=680。记x+x+x+x=18（x＞5，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合为A，则|A|=C=220。记x+x+x+x=18（x＞4，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合为A，则|A|=C=286。记x+x+x+x=18（x＞3，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合为A，则|A|=C=364。记x+x+x+x=18（x＞6，x∈N，i=1，2，…，4）的解的集合为A，则|A|=C=165。
|A∩A|为x+x+x+x=18（x＞5，x＞4，x∈N，i=1，2，…，4）的解的个数，|A∩A|=C=56，同理|A∩A|=C=84，|A∩A|=C=20，|A∩A|=C=120，|A∩A|=C=35，|A∩A|=C=56，|A∩A∩A|=C=10，|A∩A∩A|=0，|A∩A∩A|=C=1，|A∩A∩A|=C=4，|A∩A∩A∩A|=0。
所求的x+x+x+x=18（x≤5，x≤4，x≤3，x≤6，x∈N，i=1，2，…，4）的解的组数即为|CA∩CA∩CA∩CA|=|I|-|A|- |A|-|A|-|A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|+|A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|-|A∩A∩A|+ |A∩A∩A∩A|=C-C-C-C-C+C+C+C+C+C+C-C-0-C-C+0=1。
参考文献：
［1］单庆权.利用不定方程巧解一类题［J］.数理化解题研究，2007，（05）.
［2］蒋彩荣.利用不定方程解一类排列组合问题［J］.数学通报，2004，（08）.
［3］刘庆生.求不定方程的整数解［J］.内蒙古教育学院学报，1994，（09）.
［4］唐续俞.容斥原理及一般公式［J］.广州航海高等专科学校学报，1995，（12）.